Gurka Dezső

LAKATOS KUTATÓI PÁLYÁJÁNAK KONTINUITÁSELEMEI

Lakatos Imre születésének hetvenötödik évfordulója új lendületet adott az életmű kutatásának. Az 1997-ben, illetve azóta megjelent publikációkból egyre inkább kirajzolódik az a tanulság, hogy Lakatos tudományos teljesítményének átfogó értékelése csak a magyarországi és angliai időszak együttes vizsgálata nyomán lehetséges.

Az újonnan megjelent publikációk egy része a kontinuitás szempontját az angliai időszak magyarországi előzményeinek, a lakatosi tudományfilozófiában fellelhető kontinuitáselemeknek a bemutatásával érvényesíti. A progresszivitás fogalmának marxista reminiszcencia jellegére Palló Gábor hívta fel a figyelmet, Ropolyi László pedig Dusek nyomán azt emelte ki, hogy Lakatos tudományfilozófiájának „kemény mag” és „védőöv” fogalmai a marxista mozgalmi terminológiát idézik. Ugyancsak ő mutatott rá Lukács és Lakatos racionalitásfelfogásának hasonlóságára.1 A pályaszakaszok kapcsolódási pontjainak bemutatását célzó vizsgálatok viszonylag kevés teret szenteltek a matematikafilozófiai aspektusnak, így továbbra is nyitott kérdés, hogy e vonatkozásban mit vitt tovább Lakatos Imre az általa lezártnak nyilvánított magyarországi korszakaszából.

A Lakatos-életmű fejlődési tendenciáit taglaló elemzésekben közkeletű az a megállapítás, hogy a tudományos kutatási programok elmélete Lakatos matematikafilozófiájából nőtt ki.2 Ezt az összefüggést jól szemlélteti a Lakatost ért hatásokat és a műveinek tematikáját egymásra vetítő ábra.3

A kutatói pálya magyarországi szakasza mindenekelőtt az ideológiai töltésű cikkekből és recenziókból ismerhető meg, ezért természetes, hogy az életmű egészének értékelésekor e vonatkozásban is a cezúrát hangsúlyozzák. Azonban a matematikai problémamegoldásnak és a tudomány logikájának az a tematizálása, mellyel Lakatos az ötvenes évek végétől megalapozta nemzetközi hírnevét, nem volt teljesen előzmény nélküli munkásságában.

Mivel a tudományos kutatási programok elmélete Lakatos matematikafilozófiájából nőtt ki, a magyarországi és az angliai időszak közötti releváns összefüggések, átmenetek feltárásának egyik fontos kiindulópontja lehet a lakatosi matematikafilozófia magyarországi előzményeinek vizsgálata.

A szakirodalomban gyakran szereplő tény, hogy Lakatos az általa szervezett 1965-ös londoni konferencián már nemzetközileg ismert matematikatörténészként részt vevő Szabó Árpáddal még debreceni egyetemi hallgatóként ismerkedett meg. Az is köztudott, hogy a recski évek után, 1954 és 1956 között Lakatos – Rényi Alfréd jóvoltából – a Matematikai Kutatóintézetben dolgozott. Itt eltöltött időszakának egyik legfontosabb momentuma, hogy magyarra fordította Pólya György könyvét, A gondolkodás iskoláját.4 Eleddig kevés figyelmet kapott viszont Lakatosnak – a londoni konferencián ugyancsak részt vevő matematikussal – Kalmár Lászlóval, illetve közös tanárukkal, Karácsony Sándorral való kapcsolatának története.5

Karácsony hatását Lakatos A természettudományos fogalomalkotás társadalomtörténeti vonatkozásai címmel írt debreceni doktori dolgozata keletkezésének időszakára szokás vonatkoztatni.6 E hatás konkrét mibenlétének tisztázását ugyanakkor viszont szinte lehetetlenné teszi az a tény, hogy (jóllehet Karácsony opponensi véleménye megőrződött: lásd erről később) a disszertáció eltűnt, s kettejük kapcsolatát a források inkább életrajzi, mintsem szellemi korrespondenciaként láttatják.

A Karácsony köré szerveződött tanítványok írásaiból azonban felvázolhatók azok a karakterisztikumok, amelyek e szellemi közeg matematikus és fizikus tagjainak indulására hatást gyakoroltak. Lakatos matematikafilozófiája pedig Kalmár László 1965-ös londoni előadása révén éppen abból a debreceni szellemi közegből kapott argumentációs muníciót, amelyből egykor mindkettőjük pályája felívelt.

Lakatos pályájának korai értékelései közül talán Stephen Toulmin 1976-ban megjelent tanulmánya a legperspektivikusabb, amely azzal az igénnyel lépett fel, hogy az életmű egészét egy az állandóság és a változás szempontját egyidejűleg felvető fejlődéskép keretében értelmezze. Periodizációjában a három fejlődési szakaszt a Bizonyítások és cáfolatok megjelenéséig terjedő időszak, majd az 1965 és 1970 között keletkezett asztronómiai és fizikai témákra átváltó írások, végül az utolsó évek művei képviselik. Toulmin az 1965-ös évet fontos fordulópontnak tekinti, kiemelve, hogy Lakatos innét kezdődően a matematika metodológiájának és filozófiájának tapasztalatait kiterjesztette a természettudományok területére is.7 E problémaeltolódás feltétele azonban éppen a matematika metodológiájának, jellegének problematizálása volt.

A matematika nevezetes kváziempirikus felfogásának kialakulása az 1965-ös londoni tudományfilozófiai kongresszushoz kötődik, s azt explicit formában éppen a Kalmár László előadása kapcsán kibontakozott vitában fejtette ki Lakatos.8 Mivel Kalmár empirikus felfogása jelentős viszonyulási pont volt Lakatos számára saját álláspontjának kialakításában, a recepció bemutatásában fontos szempont, hogy az nem csupán a jelzett alkalomhoz kötődik, hanem részben kettejük pályájának közös előzményeire vezethető vissza.

EGY FELTÁRATLAN KONTINUITÁSELEM: A KARÁCSONY-KÖRREL VALÓ KAPCSOLAT

Karácsony Sándort 1942 nyarán nevezték ki a pedagógia nyilvános rendes egyetemi tanárává a debreceni egyetemre, oda, ahol korábban már nyolc éven keresztül mint magántanár oktatott. Ugyanebben az évben jelent meg A másik ember felé (Az Exodus munkaközösség dolgozatai) címmel a Karácsony köré szerveződő kör tagjainak írásait magában foglaló tanulmánykötet, amelyben az irodalmi és pedagógiai témájú írások mellett új tárgykörként már a matematika is megjelent.9

Karácsony vonzáskörébe tartozott ekkoriban Lakatoson kívül Kalmár László, Péter Rózsa, Szele Tibor, Varga Tamás és Fényes Imre is. E csoportnak a Lakatos életrajzában betöltött szerepét nyomatékosítja az a tény, hogy velük nem csupán a pályakezdése volt közös, hanem a Karácsony-kör egykori tagjai közül többekkel ismételten kapcsolatba került: Kalmár Lászlóval nem csupán csak 1965-ben találkozott, hanem már 1954 és 1956 között is, amikor szemináriumain vett részt a Matematikai Kutatóintézetben; Varga Tamással A gondolkodás iskolája lefordítása kapcsán került újra kapcsolatba; Vekerdi László pedig több írását is megismertette a magyar olvasókkal, s ezekre a recenziókra Lakatos reflektált is.10

A Karácsony-kör matematikus tagjainak intenzív érdeklődése leginkább Karácsony nyelvfilozófiájának, illetve azon belül a matematikai és a nyelvi logika összekapcsolásának volt köszönhető.11 Karácsony Wundt nyomán a lélektan irányába fordult.12 Társaslélektannal összekötött nyelvszemléletében alapvető szerepe van annak a beállítódásnak, amely a logikai struktúrák kizárólagosságával szemben az absztrakt fogalmak tapasztalati megalapozottságát hangsúlyozza.13 A debreceni professzor argumentációjának alapvető eleme az egzakt fogalomnak és a – képként felfogott – jelnek a kapcsolata, lett légyen szó nyelvtanról, észjárásról, szofokráciáról vagy nevelési reformról.14

Karácsony nyelvszemléletének hatása olykor meglepő időbeli és tematikai távolságokban is felbukkan az egykor vele kapcsolatban lévők írásaiban, így Fényes Imre A fizika eredete című könyvében is, amely szerzőjének halála után három évvel, 1980-ban jelent meg. Kontra György kiemeli, hogy „Fényes Imrét foglalkoztatták nyelvünk szemléletességének és a természettudományos absztrakciónak a problémái”.15 E megállapítás szövegszerűen is igazolható. Szóban forgó könyvében, amely Az egzakt fogalmi gondolkodás kialakulása alcímet viseli, Fényes hivatkozik Fabricius Kovács Ferencnek, Karácsony nyelvész tanítványának egy okfejtésére. Mielőtt azonban ezt tenné, a következő mondatokkal indítja A gondolkodás és a nyelv című fejezetet: „A valóság megismerésének kezdete az érzékelés, az érzékelés alapján végbemenő gondolkodás szubjektív »kép«-ek formájában tükrözi a valóságot. A szubjektív »kép«-ek szavak segítségével válnak közös tulajdonná, tesznek szert speciális (társas) jellegre és állhatnak össze végül kultúrává.”16 A kép, a társas jelleg félreismerhetetlenül Karácsony nyelvszemléletére utaló fogalmak.17 A kép mint a fogalomalkotás első fázisának gondolata Fényes könyvében a matematikai absztrakció összefüggésében is előkerül.18

Valószínűleg nem független Karácsony hatásától az a tény sem, hogy a hazai matematikusok közül éppen Kalmár László bizonyult fogékonynak a nyelvészeti problémák iránt. A szegedi professzor Kalmár – Chomsky generatív grammatikájának elméleti alapjait felhasználva – a magyarországi matematikai nyelvészet egyik megalapítójává vált.19 1964-től matematikus- és nyelvészhallgatóknak tartott szemináriumokat e témában, s ugyanekkor jelent meg a Matematika és nyelvészeti struktúrák című hosszabb tanulmánya is.

Az empirikus tartalom és az absztrakció viszonya, mesterükétől eltérő tartalommal és a nyelvfilozófián túlmenő érvénnyel ugyan, de több Karácsony-tanítvány történeti megközelítésű gondolatmenetében is felbukkant. Kalmár László 1942-ben Az Exodus munkaközösség dolgozataiban jelentette meg A matematikai egzaktság fejlődése a szemlélettől az axiomatikus módszerig című tanulmányát.20 Az 1947-ben keletkezett Levél az integrálról a szemléletességet a gyakorlatban valósította meg: az integrálszámítást egy területszámítási feladattal mutatja be, miközben reflektál a matematikai egzaktság konvencionális értelmezésére is.21 Vekerdi László írása, A matematikai absztrakció történetéből 1969-ben látott először napvilágot. A tanulmány a társadalmi tényezők közegében és a gyakorlati alkalmazások iniciatív szerepét bemutatva tekinti át a matematika teljes történetét.22

A Karácsony-kör matematikus tagjainak kiemelkedő szerepük volt a matematikai ismeretterjesztés azon típusának meghonosításában, amely a problémák megértetését azok szimplifikálása helyett az elemi tényekre való visszavezetésükkel s alapstruktúrájuk átláttatásával érte el. Ezeknek a törekvéseknek a hátterében a matematikai gondolkodás természetének kérdése és a matematikai felfedezésnek a logikája állott.23 A Péter Rózsa által kitűzött célt – tudniillik a számlálástól eljutni a matematikai logikáig24 – kívánta megvalósítani Varga Tamás is, amikor Játsszunk matematikát! című 1972-ben megjelent könyvében a matematikai struktúrák természetét a gyerekek fogalmi szintjéhez adaptálva mutatta be.25

Karácsony tanítványai közül néhányan (Lakatos mellett Kalmár és Fényes is) a marxizmus híveivé váltak.26 Karácsony gondolkodásmódjának tanítványai írásaiba is átöröklődő tapasztalatközpontúsága számukra könnyen összeegyeztethető volt a dialektikus materializmus alapelveivel. Fényes Imre az 1966-ban publikált Fizika és világnézet első mondataiban a fizika filozófiai problémái iránti érdeklődésének kialakulásáról írva Engels írásaira hivatkozik, néhány lappal odébb viszont feltűnnek a Karácsony Sándor-i szófordulatok is: az észjárás, a szemléletes képek.27 Kalmár László a Szegedi Orvostudományi Egyetem által szervezett tanfolyamon a matematikai absztrakció kérdését választotta kurzusa témájául. Előadások a matematika filozófiai problémáiról című írásában Engels Anti-Dühringjét idézve fejti ki, hogy „a »tiszta matematika« tárgyát az anyagi világ térformái és mennyiségi viszonyai alkotják”.28 A matematikai egzaktság kialakulásának felvázolása ugyanakkor a főbb pontokon párhuzamot mutat az 1942-es Exodus-cikk, illetve az 1965-ös előadás gondolatmenetével.29

A Karácsony-kör matematikus tagjainak írásaiban tehát különböző súllyal és terjedelemben visszatérő közös elemként szerepel az absztrakciók tapasztalati megalapozottságát hangsúlyozó szemlélet és a szemléletességre való törekvés igénye.

LAKATOS ÉS KARÁCSONY SZEMÉLYES KAPCSOLATA

Lakatos a debreceni egyetem hallgatójaként került kapcsolatba Karácsony Sándorral. 1940-ben eredetileg az egyetem jogi karára iratkozott be, mivel a numerus clausus miatt nem vették fel a bölcsészeti karra. Kérvénye alapján két jogi félévének beszámításával matematika, fizika és filozófia szakon az 1945-ös tanév második félévéig folytatta tanulmányait.30 1945 júliusában felvételi kérelmet adott be az Eötvös Kollégiumba, ahol is kutatói ösztöndíjat kapott. 1947 júliusában főszakként filozófiából, mellékszakként fizikából és matematikából tett doktori szigorlatot a debreceni egyetemen, summa cum laude minősítéssel.31

Lakatos Karácsony Sándor lelkes tanítványa volt, az óráin Karácsony „sokszor Lakatosnak és Vekerdi Lászlónak magyarázott”.32
Lakatos fent említett, A természettudományos fogalomalkotás társadalomtörténeti vonatkozásai című disszertációjáról csupán Karácsony Sándor és Varga Ottó – Gyíres Béla által megfogalmazott – már említett opponensi véleménye, illetve Lakatos az idő tájt publikált ideológiai töltésű cikkei és recenziói alapján lehet némileg képet alkotni, ugyanis a dolgozatnak nincs fellelhető példánya.33 Karácsony a kari tanácsülés jegyzőkönyvének tanúsága szerint Lakatos korábbi írásait is figyelemmel kísérte, és igen elismerően szólt tanítványáról, s mintegy Lakatos későbbi eredményeit is előlegezve összegezte véleményét.34

Karácsony Sándorhoz Lakatos emberileg igen közel állt, s vele kapcsolatban elmondható, hogy életében példátlan tanítványi hűségről tett tanúbizonyságot. Kötődésüket szorosra fonta, hogy az 1945-ben református hitre tért Lakatosnak Karácsony vállalta a keresztapaságát. Az ötvenes években viszont az egykori tanítvány próbálta menteni, illetve átmenteni tanárát, aki Lakatos rábeszélésére még egy önkritika megírására is vállalkozott.35 1956-ban Kontra Györggyel együtt megszervezte Kerékjártó Elemér Karácsonyt támadó kandidátusi disszertációjának megbuktatását.36

A személyes kontaktus tényének rögzítését követően felvetődik a kérdés, hogy miben konkretizálódott Lakatos munkásságában Karácsonynak, illetve matematikus tanítványainak recepciója.37

Karácsony opponensi véleményében párhuzamot vont a disszertáció kérdésfelvetése s egyik saját tanulmányának problematikája között.38 A doktori értekezés alapgondolatát abban látta, hogy „a természettudományos fogalomalkotás nem objektív s nem a természet jelrendszere, hanem reláció s a mindenkori társadalmi szerkezet függvénye. Ezért aztán a természettudomány fejlődésének folyamán időnként kinő saját fogalomrendszeréből”.39

Karácsony a saját és tanítványa felfogásában közös mozzanatként kiemeli a szociológiai elemeket, ugyanakkor (Max Scheler és Mannheim Károly Lakatosra gyakorolt hatását említve) az eltérésekre is utal.40

A tudomány logikájának témája nem volt teljesen előzmény nélküli Lakatos számára, amennyiben e kérdések tágabb kontextusa, a tudományos megismerés, a fogalomalkotás objektivitásának problematikája már Debrecenben is foglalkoztatta. A dolgozatban persze Karácsony hatásának megléte esetén is a marxizáló determinizmus szemlélete lehetett az uralkodó, Lakatos többi korabeli írásához hasonlóan.

Fogódzót jelenthet az elveszett doktori dolgozat megítélésében a korai tanulmányok és a Lukács György műveinek – különösen a Történelem és osztálytudatnak – fogalomhasználata közötti párhuzam felismerése.41 Lakatos ezekben a propagandisztikus jellegű cikkekben is több helyütt hangoztatja, hogy nem léteznek örök kategóriák, s noha felmerül a cáfolás összetettebb értelmezése vagy az egyes elmélet átfogóbb keretben való bemutatása is, a végső konklúziót rendszerint nem a tudományra, hanem az osztályharcra nézve vonja le.42 Mivel Lakatos magát a debreceni doktori disszertációt gyengének tartotta, s a saját életrajzában meghúzott cezúra egyben a marxista–sztálinista fogalmi háttér negligálását is magával vonta, követni nem, legfeljebb érzékelni lehet későbbi tudományfilozófiájában, hogy egyes marxista kategóriák rejtett szofizmaként visszaköszönnek. Ilyen „ultima ratio” lesz például a progresszivitás fogalma a tudományos kutatási programok elméletében.43

Lakatos a debreceni doktori disszertációban – a Karácsony által kiemelt hasonlóságok ellenére is – nagy valószínűséggel még főként a marxizáló determinizmus szemléleti keretein belül vizsgálta a tudomány fogalmainak változását. A marxista fogalmi keret meglétéről maga Karácsony is említést tesz opponensi véleményében, s ezzel együtt vél rokonságot felfedezni a saját és tanítványa tudományképe között.44 A Lakatost foglalkoztató alapprobléma alkalmas volt arra, hogy (felülrétegződve egy korszerű filozófiai és szaktudományos ismeretanyaggal) kiindulópontja legyen saját fokozatosan kibontakozó matematika- majd tudományfilozófiai elméletének. Egy olyan elméletnek, amely kifejlett formájában a természettudomány fogalomrendszerének időről időre való átalakulásait nem csupán a szaktudományos fogalmakra értelmezi, hanem a szaktudomány és a filozófia összefüggésrendszerében is elhelyezi e változásokat.

Jóllehet Lakatos munkáiban Karácsony terminológiája szövegszerűen nem mutatható ki, figyelemre méltó fogalomrendszerének szemléletes, képi jellege, így például az „igazság felfelé áramlása”, az „igazságáramlás csatornái” vagy a „problémaeltolódás” kifejezések esetében.

A mellérendelés volt a másik alapfogalma Karácsony társaslélektanának és nyelvszemléletének, amit maga a „társ” kifejezés is tükröz. E fogalom természetesen inkább Karácsony pedagógus és néprajzos tanítványainak írásaiban dominál, de szerepet kap Kalmár 1942-es írásában is.45 Ez a mellérendelési mozzanat – jóllehet a Karácsony szemléletével való közvetlen kapcsolat ez esetben sem adatolható – Lakatos tudományfejlődés-elméletének is sajátossága. A tudományos kutatási programok problémaeltolódásai s maguknak a programoknak az egymásutánja – szemben a kumulatív modellek fejlődésetapjainak vertikális-hierarchikus módon való felfogásával – egy horizontális elrendeződést rajzol ki.

A „kemény mag” és a „védőöv” lakatosi fogalma esetében már kimutattak egy sajátos magyarországi életrajzi vonatkozást, tudniillik, hogy ez az illegális munkásmozgalomban volt szokásos szóhasználat.46 Ha e fogalmak eredetének kérdésében elfogadjuk a magyarországi életrajzi közeg befolyását, talán nem tűnik túlságosan merésznek annak feltételezése sem, hogy Lakatos fogalomalkotásának módja, a fogalmak megjelenítése, időnkénti képisége – mint akár a kemény mag és a védőöv esetében is – a szemléletességnek azt a gyakorlatát idézi, amely – jóllehet más téren – a Karácsony-kör jó néhány tagjának írásaiban explicit módon megvalósult.

Az, hogy a Karácsony-kör tagjaival való kapcsolat nem maradt pusztán életrajzi mozzanat, abból adódik, hogy Kalmár László londoni előadásának empirikus szemlélete fontos adalékot jelentett Lakatos számára matematikafilozófiájának kidolgozásához. A hatás konkrét mibenlétét az alábbi két kérdésnek a tisztázásával lehet bemutatni:

1. Melyek voltak Lakatos matematikafilozófiájának azok a sajátosságai, amelyek lehetővé és aktuálissá tették a londoni Kalmár-előadás és a körülötte kialakult vita tanulságainak hasznosítását?

2. Milyen előzményekre vezethető vissza Kalmár akkori matematikafelfogása?

A MATEMATIKA FORMALISTA FELFOGÁSÁNAK KRITIKÁJA LAKATOSNÁL

A Bizonyítások és cáfolatokban Lakatos így fogalmazta meg a könyv megírásának elvi kiindulópontját, s az oda vezető út lényegét: „A matematikatörténet és a matematikai felfedezés logikája, azaz a matematikai gondolkodás filogenezise és ontogenezise csak a formalizmus kritikájával és végső elutasításával építhető fel.”47 A formalizmus – illetve a tágabb értelemben vett euklideszi rendszer – ismétlődő bírálata nyomán építette ki Lakatos saját matematikafilozófiájának úgynevezett kváziempirikus felfogását.

Lakatos matematikafilozófiájának kialakulásában iniciatív szerepe volt Karl Popper és Pólya György hatásának. Lakatos A matematikai kutatás logikája című cambridge-i disszertációjának egyik újdonsága Popper módszerének alkalmazásában, a matematikai bizonyítás és a falszifikáció módszerének összekapcsolásában rejlett. A bizonyítás fogalmát már ekkor sem a szigorú matematikai értelmezés szerint használta, vagyis nem az egy tételből való deduktív levezetést, hanem az evidenssé tevés folyamatát értette rajta.48

Korábban már Pólya György is részben átértelmezte a bizonyítás formalista felfogását, bár a sejtés és az ellenőrzés fázisa nagyobb hangsúlyt kapott nála, mint a bizonyításé. Lakatos később a Bizonyítások és cáfolatokban így összegezi koncepcióik eltéréseit: „Pólya tárgyalja a sejtés és az ellenőrzés fázisát. Itt azonban megáll, és nem foglalkozik a bizonyítás szakaszával, noha természetesen hangsúlyozza, hogy szükség van a »bizonyító feladatok« heurisztikájára. A mi gondolatmenetünk ott kezdődik, ahol Pólya megállt.”49

Lakatos a bizonyítással kapcsolatos elméleti problémákat az ötvenes évek végétől több alkalommal is számba vette. A bizonyítás fajtáit a Mit bizonyít a bizonyítás? című írásában tematizálta, amely egy 1959-es szemináriumi munkájának átdolgozásaként keletkezett. A formális és informális bizonyítások megkülönböztetésével eleve kétségbe vonja a bizonyítás formalizált ideáljának kizárólagosságát.50 Lakatos szerint nemcsak a preformális és a posztformális bizonyítás felelős a nem várt bizonytalanságokért, hanem a formális bizonyítás is kétségessé válik.51

A végtelen regresszus és a matematika megalapozása című tanulmány arra világít rá, hogy az euklideszi rendszer, a definíciók, posztulátumok és axiómák konzisztenciájának megőrzése érdekében, határt szab a kérdezés folyamatának. Ilyenfajta határmegvonás az axiómák tekintetében minden formalista programban található.52 Ezen a ponton találkozik Lakatos gondolatmenetében a falszifikálhatóság követelménye és a pusztán logikai, jelentésüket kívülről kapó struktúrák kritikája.

Lakatos matematikafilozófiája tehát, elfogadva a popperi felfogást, az ismeretek igazságkritériumát nem a deduktív levezetésben, hanem az ellenpéldákkal való ütköztetésben látta.53 Lakatos ezzel együtt elutasította azt a Richard Braithwaite-nél és Karl Poppernél egyaránt fellelhető szembeállítást, miszerint a felfedezés lélektani, az igazolás pedig logikai mozzanat; s a heurisztikát önálló és átfogó tudományként definiálta. Azt, hogy a heurisztika Lakatosnál nem csupán részmozzanat, hanem a deduktív axiomatikus modellek alternatívája, Reuben és Hersh így összegzi: „Frege ideje óta aligha akadt olyan jelentős filozófus, aki a matematikát olyan értelemben tárgyalta volna, amely különbözött a szilárd alapokat kereső, formális logikai értelemtől. Az egyensúlyt a legjobban úgy lehet helyreállítani, ha egy teljesen különböző modellel állítjuk szembe. Ez az, amit Lakatos örökül hagyott ránk Bizonyítások és cáfolatok című művében.”54

Ahhoz, hogy ez a formalista felfogástól „teljesen különböző modell” létrejöhessen a Bizonyítások és cáfolatok lapjain, nem kis mértékben hozzájárult a matematikánal az a kváziempirikus felfogása, amely az 1965-ben, illetve 1967-ben keletkezett írásokban bontakozik ki.

A budapesti Matematikai Kutatóintézetben eltöltött időszakhoz kötődő Popper- és Pólya-recepció mellett Lakatos későbbi matematikafilozófiai gondolkodására tehát nagy hatással voltak a londoni tudományfilozófiai kongresszus vitái. A matematika kváziempirikus felfogásának kidolgozását a szóban forgó 1965-ös Kalmár-előadás s a körülötte kibontakozott vita minden bizonnyal inspirálta.55

Kalmár László londoni előadásának koncepciója több ponton is visszanyúlik az 1942-ben megjelent A matematikai egzaktság fejlődése a szemlélettől az axiomatikus módszerig című írására. Az Exodus munkaközösség dolgozatai című gyűjteményben napvilágot látott cikkében a fogalomalkotás később Lakatost szintén foglalkoztató problémája is jelentkezett. További érdekessége ennek az írásnak, hogy Kalmár – a külső és belső történet Lakatos-féle kategóriáira emlékeztető módon – a történeti szempontú tárgyalást elválasztja attól az úttól, „amelyet az egyes matematikus jár meg, hogy a matematikai fogalmak és tételek egzakt rendszerét a maga számára kiépítse”.56

A Kalmár Lászlóval való ötvenes évekbeli kapcsolattartás, illetve az ő londoni előadásának Lakatos matematikafilozófiájának formálódására gyakorolt hatása révén a Karácsony-kör gondolati örökségének egyes elemei – erősen módosult formában és új kontextusban ugyan – a hatvanas évek közepén ismételten becsatornázódtak Lakatos gondolatrendszerének fejlődési folyamatába.

A LONDONI KALMÁR-ELŐADÁS ÉS A MATEMATIKA KVÁZIEMPIRIKUS FELFOGÁSA

Kalmár László londoni előadásában, amelynek A matematika megalapozása – elvirágzott már? címet adta, a matematika tisztán deduktív tudományként való felfogását vizsgálta. Előadását a dedukció és az absztrakció történeti összekapcsolásával kezdte, bemutatva, hogy az absztrakció két vonatkozásban tett lehetővé előrelépést:

– az empirikus tények közötti szabályok felállításában,
– ideális koncepciók konstruálásában.57

Az így létrejövő axiomatikus rendszerek már nem reflektáltak axiómáik empirikus eredetére.

Kalmár bevezető megállapításai több vonatkozásban is 1942-es cikkének gondolatmenetét követik. A matematikai egzaktság fejlődése a szemlélettől az axiomatikus módszerig című cikk mind a szemlélet elsődlegességének kiemelése, mind a társaslélektan egyes kifejezéseinek használata kapcsán jelzi Kalmárnak a Karácsony-körhöz való kötődését.

Az 1942-ben megjelent írás szerint a matematikai fogalmak a szemléletből erednek.58 A szemléletes szintről az elvont szintre való átlépést Karácsony társas lélektani eszköztárának segítségével okolja meg: „Ha »társam« valamely alapfogalmamat nem látja közvetlenül érthetőnek, megpróbálom logikailag visszavezetni számára is világos, még egyszerűbb fogalomra, ha valamely axiómámat nem fogadja el evidensnek, megpróbálom logikailag visszavezetni számára is evidens igazságokra”. A szemléletes és az elvont szint a londoni előadásban az absztrakció két lehetőségében tűnik elő, s ugyancsak közös a két történeti szempontú ismertetésben a tapasztalati kiindulópont feláldozásának mozzanata.59

Kalmár – miután egykori Exodus-cikke gondolatmenetét követve megvizsgálta az absztrakció és az axiomatikus módszer összefüggéseit – londoni előadásában azt állította, hogy ha a matematika önmagát szilárd alapú és tisztán deduktív tudománynak definiálja is, absztrakciói mégis (közvetlenül vagy közvetett módon) az empirikus tényekből származnak, s a legtöbb formális rendszer konzisztenciája a gyakorlatban való tesztelés eredményeként áll elő.60

Lakatos válaszában, szisztematizálva Kalmár előadásának megjegyzéseit, a matematika empirikus jellege mellett felhozott érveiket abban összegezte, hogy a matematika eredetét tekintve empirikus, módszere hasonló a természettudományokéhoz, jusztifikációja pedig nem múlja felül a természettudományokét. Kalmár álláspontjának megerősítésére (mindenekelőtt Russel, Fraenkel és Carnap nevét említve) Lakatos a vita során kimutatta, hogy a matematika empirista és induktivista felfogása komoly előzményekre tekint vissza a matematika történetében. Kalmár élesen felvetett problémáját Lakatos strukturáltabb és elméletibb, s ezzel együtt történetibb módon közelítette meg, feltette azt a kérdést: mi lehet az oka annak, hogy előtérbe kerültek az empirista-induktivista megközelítések?

Lakatos válaszának Az empirizmus reneszánsza a jelenlegi matematikafilozófiában? címet adta. 1967-ben, a rövidebb változat megjelenésének évében írta meg a hozzászóláson alapuló, azonos című, hosszabb tanulmányát, amely csak a gyűjteményes kötetében látott napvilágot.61

Lakatos a Kalmár hozzászólása körüli vitában bevezeti a kvázieuklideszi és a kváziempirikus felfogás demarkációját, s a két felfogás különbségeit így körvonalazza:

Lakatos azzal fejezi be érvelését, hogy a Kalmár által jól reprezentált újabb empirista megközelítések abból a felismerésből eredeztethetők, hogy a matematika nem euklideszi vagy kvázieuklideszi, hanem kváziempirikus. A kváziempirikus elméletek lényegét pedig abban határozza meg, hogy azok igazságérvényét falszifikálhatóságuk lehetősége adja.62

Kalmár tehát az empirizmus kérdését az axiomatika tartalmi mozzanataként vetette fel, míg Lakatosnál a kváziempirikus megjelölés nem az alapállítások jellegére vonatkozik, hanem a rendszer igazságkritériumának minőségére; nem a tartalmi kiindulópontot, hanem az igazság áramlásának irányát adja meg.

A londoni hozzászólás címével megegyező hosszabb tanulmány, amit Lakatos 1967-ben írt, a hagyatékában maradt fenn. A gyűjteményes kötet szerkesztőinek megjegyzése szerint Lakatos azért nem publikálta a cikket, mert folytatni akarta, de más irányú érdeklődése miatt nem tért vissza e témára.63 Azok a tanulságok azonban, melyeket a matematika és a természettudományok jusztifikációs eljárásainak hasonlóságára nézve levont (s melyeket visszaigazolt a Kalmár-előadás matematikai anyaga), beépültek a későbbi évek műveibe is.

Lakatosnak a londoni hozzászólásból kinövő tanulmányában még hangsúlyosabbá válik a falszifikáció szerepe. A kvázieuklideszi és a kváziempirikus felfogás elhatárolásában Lakatos újabb különbségként emeli ki, hogy míg a logika az előbbiben a bizonyítás, az utóbbiban a cáfolás eszköze; az uralkodó minta pedig a bizonyítás erejének vizsgálata, illetve a teóriák és cáfolatok proliferációja.64

A Bizonyítások és cáfolatok a popperi szemléletnek – az 1965-ös kongresszus vitájában konkrét matematikai tartalommal telítődve –, a falszifikációnak már egy összetettebb értelmezését adja. „Ha van egy sejtésed, kezdd el bizonyítani és cáfolni” – tűzi ki az alapszabályt Lakatos, s itt a hangsúly éppen azon van, hogy a nem formális bizonyítás megerősítő hatásával egyidejűleg lépnek föl az ellenpéldák is. Az érvelés egyes lépéseire vonatkozókat helyi ellenpéldáknak nevezi, azokat pedig, amelyek a sejtés egészét érintik, globális ellenpéldaként definiálja.65 A cáfolás fogalmának ezen differenciálása már a tudományos kutatási programok elméletének egyik lényegi mozzanatát, a hosszú távú falszifikációt előlegezi. A Popper módszertanára fölépített alternatíva még jobbadán nélkülözte a későbbi lakatosi fejlődéskoncepció fogalmainak többségét, sőt a kemény mag és a heurisztikák fogalma éppen a falszifikáció történeti anyagra való alkalmazásának tapasztalataiból nőtt ki.

Lakatosnak a matematikai formalizmussal való szembenállását az euklideszi rendszerről adott kritikája mutatja legjellegzetesebben. Az „euklideszi rítust” a zárt rendszerre alkalmazott rögzített módszer kényszereként jellemzi, amely elfedi az intuíció szerepét magában a rendszernek a genezisében.66 A deduktív rendszer tartalmi és módszerbeli kötöttségeinek kiküszöbölésére Lakatos az axiomatikus megközelítés helyébe a heurisztikát állítja.

Annak, hogy Lakatos az önevidens, de legalábbis plauzíbilis axiómák után kutató euklideszi és a merész, heurisztikus erejű hipotéziseket középpontba állító kváziempirikus felfogás között vonja meg a határvonalat, messzemenő tudományfejlődés-elméleti következményei lesznek a későbbiekben. A cambridge-i disszertációban körvonalazódó s a Bizonyítások és cáfolatokban formát öltő heurisztikus modell, illetve az a megállapítás, hogy a matematika fejlődése nem modellálható teóriák egyszerű felhalmozódásaként, a racionalitás fogalmának átértékelését jelentette, s a tudományos kutatási programok elméletében kapta meg tágabb (idő)dimenzióját.

Toulmin méltán tartja a Lakatos-pályakép egyik legfontosabb fordulópontjának az 1965-ös évet, amikor is a matematikai bázison kidolgozott metodológiák és problémafelvetések áttevődnek a fizika és a csillagászat területére. Toulmin ezt a változást a Bedford Kollégiumban lezajlott Popper–Kuhn-vita hatásából eredezteti, s úgy értékeli, mint Lakatos válaszát a tudományos forradalmak fogalmának kihívására.67 Ennek a változásnak ugyanakkor azonban előfeltétele kellett legyen a matematika kváziempirikus természetének új felfogása, aminek körvonalazásához viszont a londoni kongresszus vitái s nem utolsósorban Kalmár előadása adtak ösztönzést.

Jancis Long – Lakatos személyiségének mindmáig legalaposabb elemzője – életrajzi feldolgozása a következő megállapítással zárul: „Két Lakatos volt? Filozófiailag igen, pszichológiailag nem.” Filozófiai vonatkozásban is úgy tűnik azonban, hogy a magyarországi és az angliai pályaszakasz közötti kontinuitást egyre több elem nyomatékosítja. A marxista reminiszcenciák és a Matematikai Kutatóintézetben eltöltött időszak mellett ilyen kontinuitáselemként értékelhető a Karácsony-körben megismert matematikusnak, Kalmár Lászlónak a Lakatos-életműben több ponton felbukkanó hatása is.68

JEGYZETEK

1 Palló Gábor (1996): Párhuzamok és metszéspontok. Lakatos Imre és Polányi Mihály. Replika, 23–24: 49.; Ropolyi László (2002): Lakatos and Lukács. In: Kampis, George–Kvasz Ladislav–Stölzner, Michael (szerk.): Appraising Lakatos. Mathematics, Methodology and the Man. Dordrecht–Boston–London: Kluwer, 322–326.

2 Koetsier, Teun (1991): Lakatos Philosophy of mathematics: a historical approach. New York–Amsterdam: North-Holland, 59.; Gábor Forrai (1993): From the method of proofs and refutations to the methodology of scientific research programmes. International Studies in the Philosophy of Science, 2: 161.

3 Gurka Dezső (1999): A kopernikuszi fordulat értelmezése Lakatos Imre tudományfilozófiájában. Valóság, 6: 47. A táblázat Zheng Yuxin ábrájának kiegészítésével készült. Zheng, Yuxin (1990): From the Logic of Mathematical Discovery to Methodology of Scientific Research Programmes. British Journal for the Philosophy of Science, 378.

4 Lakatosnak a kutatóintézetben töltött, s a matematikai fölkészülés szempontjából lényeges időszakáról alig maradt írásos anyag. A kevés róla szóló feljegyzésből jobbadán csak az derül ki, hogy a differenciálgeometriai osztályon dolgozott. (MTA Levéltára, Matematikai Kutató Intézet iratanyaga, 262. doboz.)

5 E kapcsolat rekonstruálására tettem kísérletet egy korábbi cikkemben: Gurka Dezső (2002): A Karácsony-körrel való kapcsolat mint Lakatos munkásságának egy lehetséges kontinuitáseleme. (Műhelytanulmányok.) Budapest: Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem, 99–107.

6 Lányi általánosságban utal arra, hogy Lakatosnak a Karácsony-körhöz való ragaszkodása „nem lehetett véletlen”, de – gondolatmenetének fő vonalából következően – konkrét állításokat nem fogalmaz meg ezzel kapcsolatban. (Lányi Gusztáv [1987]: Magyarság, protestantizmus, társaslélektan. Hagyomány és megújulás konfliktusa Karácsony Sándor életművében. Tudásszociológiai vázlatok. I–II. Kandidátusi értekezés, I/282.)

7 Toulmin, Stephen (1976): History, Praxis and the “Third World”. Ambiguities in Lakatos‘ Theory and Methodology. In: Cohen, Robert S.–Feyerabend, Paul K.–Wartofsky, Max W. (szerk.): Essays in memory of Imre Lakatos. Boston Studies of the Philosophy of Science. (Vol. 39.) Dordreht: Reidel, 657–60.

8 Glas, Eduard (2001b): “The Popperian Programme” and Mathematics. Part II: From Quasi-Empiricism to Mathematical Research Programmes. Studies in History and Philosophy of Science, 358.

9 Kontra György (1995): Karácsony Sándor. (Magyar Pedagógusok.) Budapest: Országos Pedagógiai Könyvtár és Múzeum, 55. és Lendvai L. Ferenc (1993): Egy magyar filozófus. Karácsony Sándor. Budapest: Akadémiai, 99.

10 Kontra 1995, 88. Varga Tamással Pólya György How to solve it? című könyvének fordítójaként került újra kapcsolatba Lakatos a Matematikai Kutatóintézetben. Ő nézte át A gondolkodás iskolája címmel megjelent mű magyar átültetését. (Rényi Alfréd [1973]: A gondolkodás iskolája. In: Ars matematica. Budapest: Magvető, 193.) Varga és a Karácsony-kör kapcsolatáról: Vekerdi László (1990): „Szellemi függetlenség, tisztaság, tisztesség”. In: Szántó R. Tibor–Zsolnai László: „Kétszemélyes egyetem”. Tizenegy beszélgetés. Budapest: Magvető, 239.

11 Lakatos „csatlakozott Kalmár szemináriumaihoz, s annak a speciálisan magyar iskolának a befolyása alá került, amely arra szakosodott, hogy a matematikát széles közönségnek világosan magyarázza, anélkül, hogy bonyolult formulákra támaszkodna. Ennek az iskolának voltak központi alakjai Pólya György, Kalmár László, Rényi Alfréd és Péter Rózsa”. (Jancis Long, [1999]: Lakatos Imre Magyarországon. In: Magyar Filozófiai Szemle, 1: 294–295.) Szabó Árpád matematikatörténeti munkásságában is centrális tényező a dedukció problematikája, de a Lakatos matematikafilozófiájára gyakorolt hatásának feltérképezése még nem történt meg.

12 Lendvai 1993, 60.

13 A magyar nyelv sajátossága Karácsony szerint az, hogy jelei képek, amelyek nem absztrakcióból, hanem a közvetlen szemléletből erednek. (Hell Judit–Lendvai L. Ferenc–Perecz László [2001]: Magyar filozófia a XX. században. Második rész. Budapest: Áron, 165.)

14 Karácsony az alsóbb néposztályok nyelvére még jellemző tárgyias és objektív gondolkodásmód továbbfejlesztését kéri számon az általa szofokráciának nevezett szellemi vezetőrétegen s a reformra szoruló oktatásügyön. (Karácsony Sándor [1985]: A magyar észjárás. Budapest: Magvető, 50. és 245.)

15 Kontra 1995, 89.

16 Fényes Imre (1980): A fizika eredete. Az egzakt fogalmi gondolkodás kialakulása. Budapest: Kossuth, 30.

17 A magyar észjárás egyik idevágó helye például az artikulációs bázison és a grammatikai mellérendelésen túl „a jel jelentésének képi ereje harmadikfajta magyarsága a magyar nyelvnek”. (Karácsony 1985, 217.) A képiség, mint a magyar kultúra alapeleme több helyütt is hangsúlyt kap a könyvben (például 281. és 309.).

18 „…a geometriai pont, egyenes stb. fogalma is függetlenült attól a mintától, amelyből absztrakció útján keletkezett. Az alapfogalmak a szó szoros értelmében »kép«-telenek, matematikai jelentésüket (implicit definíciójukat) az alaptételek (axiómák) szolgáltatják.” (Fényes 1980, 133.)

19 Varga Antal (1997): Kalmár László, a magyarországi számítástudomány atyja. Polygon, 1: 13.

20 Az írás Karácsony szemléletével való kapcsolatáról: Lányi Gusztáv (2000): Magyarság, protestantizmus, társaslélektan. Hagyomány és megújulás konfliktusa Karácsony Sándor életművében. Budapest: Osiris, 56.

21 Kalmár László (1986): A matematikai egzaktság fejlődése a szemlélettől az axiomatikus módszerig, In: Integrállevél. Matematikai írások. Budapest: Gondolat, 194–95.

22 „Tényleg meglepő, hogy annyira absztrakt elmélet, mint a matematika, olyan sokféleképpen s oly sikeresen alkalmazható a gyakorlatban” – veti fel a tanulmány bevezetése az empirikus jelleg és absztrakció kérdését. (Vekerdi László [1969]: A matematikai absztrakció történetéből. In: Kalandozások a tudományok történetéből. Budapest: Magvető, 147.)

23 „Lehet, hogy a hangot helyenként naivnak fogja érezni az olvasó, de szívesen vállalom: a naiv szembenállás az egyszerű tényekkel mindig az új felfedezés izgalmát idézi fel” – írja Péter Rózsa a Játék a végtelennel című könyvének előszavában. Az 1957-es előszóban ezt közli: „a könyv az én 1943-as gondolkodásomat tükrözi; alig változtattam rajta”. Az 1974-es kiadás egyetlen lábjegyzetben különbözik a korábbitól. (Péter Rózsa [1974]: Játék a végtelennel. Matematika kívülállóknak. Budapest: Tankönyvkiadó, 5. és 7.)

24 Péter 1974, 11. A Játék a végtelennel már alcímével (Matematika kívülállóknak) is utal a szemléletesség igényére.

25 Varga játékok és kísérletek segítségével vezeti be a matematikai fogalmakat: a valószínűség érzékeltetésére például a rajzszögdobás, a tér és a sík fogalmának meghatározására a Babylon építőjáték nyújt segítséget. (Varga Tamás [1972]: Játsszunk matematikát! I–II. Budapest: Móra.)

26 A karácsonyizmus és a marxizmus összeegyeztetésének a tanítványok számára – s részben magának Karácsonynak a számára – felvetődő problémáját Lányi Gusztáv is kiemeli (Lányi 2000, 195).

27 Fényes Imre (1966): Fizika és világnézet. Bevezetés a fizika gondolatvilágába. Budapest: Kossuth, 5–9. Később feltűnik nála a formalizmus kritikája is: „A formalizmusnak a fizikai jelentéssel szemben való elsőbbségét a fizika sohasem állította. Aki mégis ilyet állít, a fizika szemléletmódjának ellenében teszi” (uo., 144).

28 Kalmár 1986, 64.

29 Kalmár 1967-es írásában is használja a szemléletes-absztrakt fogalompárt; az absztrakció két feladatát itt is a törvények felállításában, illetve az ideális konstrukciók létrehozásában látja.(Kalmár, 1986, 65. illetve 69. és 82.)

30 Kérését azzal indokolta meg, hogy a két félév alatt – dékáni engedéllyel – letette a fizika szakon kötelező kollokviumokat is. A dékán ily módon hat félév alapján engedélyezte az abszolutórium megszerzését. (HBML, XXVI: 3/b 496/1945–46.) (A Lakatos tanulmányaira vonatkozó levéltári adatok rendkívül hiányosak. Gimnáziumi éveinek dokumentációja megsemmisült, nem maradt fenn doktori disszertációjának egyetlen példánya sem, a debreceni egyetemi doktori iratokhoz csatolt önéletrajzát pedig ő maga vette vissza a dékáni hivataltól.)

31 A vizsgabizottság tagjai Karácsony Sándor és Varga Ottó, valamint Szalay Sándor voltak. (HBML, XXVI. 3/b 802/1946–47.) A doktorrá avatással kapcsolatos iratok szintén a Hajdú-Bihar Megyei Levéltárban találhatók: HBML, XXVI. 1b./1624/1847–48.

32 Kántor Sándorné (1998b): Lakatos Imre, a szintetikus modernizmus megalapozója. Debreceni Szemle, 2: 278.

33 Gyíres Béla visszaemlékezésére Kántorné cikke hivatkozik (Kántor 1998b, 278.) Magán a bírálaton Varga Ottó aláírása szerepel. (HBML XXVI-3/b 802.) A Debreceni Tudományegyetem Bölcsészettudományi Karához benyújtott pályamunkák, tanári szakdolgozatok és doktori értekezések bibliográfiája (Debrecen, 1955) tartalmazza a dolgozat címét, de magának a disszertációnak a KLTE Egyetemi Gyűjteményében nyoma veszett. A doktorrá avatással kapcsolatban felterjesztett iratokhoz mellékelt példányát a Vallás- és Közoktatási Minisztérium jelzése szerint (Országos Levéltár, XIX-I-1h 8.d.) visszaküldték az egyetemnek, így az a minisztérium iratanyagában sem található meg.

34 Kántor 1998b, 277. illetve HBML, XXVI/3/b., 217/1947–48.

35 Lányi 2000, 233. Karácsony Lakatosra gyakorolt hatásának fontosságát Ropolyi László is kiemeli. (Ropolyi 2002, 311.)

36 Kántor 1998b, 278.; Long 1999, 294. Részletesebben: Long, Jancis–Bandy, Alex (2000): Dress Rehearsal for a Revolution? Hungarian Quarterly, tavasz, 89–92. A Long utóbbi tanulmányának címében hangsúlyozott mozzanat Lakatosnak a Petőfi Kör pedagógusvitájában való felszólalásában mutatkozik meg leginkább. Lakatos mondataiban a Kerékjártóval szemben védelmezett Karácsony empirikus-egzakt dichotómiája is felbukkan: Lakatos a tudományos nevelésben elsődlegesnek tartotta a „tények tiszteletét és az egzakt gondolkodás igényét, a bizonyítások megkövetelését” (Hegedűs B. András [szerk.] [1994]: A Petőfi Kör vitái hiteles jegyzőkönyvek alapján. VI. Pedagógusvita. Budapest: Múzsák–1956-os Intézet, 36–37. )

37 Vekerdi László Karácsonyra visszaemlékezve megemlíti egykori tanáruknak Lakatosra gyakorolt hatását: „Azt tartotta, hogy a szellemi létezés folytonos küzdelem. Nagy elmékben – mint például Lakatos Imre, a nemrég elhunyt világhírű tudományfilozófus – ez a tanítás erős kritikai szellemet ébresztett.” (Vekerdi 1990, 241.)

38 „Lakatos ebben a szellemesen felvetett problémában ugyanazt a megoldatlan kérdést kerülgeti, amit én is felvetettem Tudományos életünk reformja című tanulmányomban.” HBML XXVI-3/b. 802.

39 HBML, XXVI. 3/b. 902/1946–47.

40 „Lakatos Imre dolgozatának második felében a tudásszociológia szociológiájához abban az értelemben szól hozzá, hogy a mi relációnk a másik valamihez egyáltalában soha nem is lehet objektív. Scheler és Mannheim vezetik őt ezen a téren, de azt hiszem, zsákutcába vezetik.” HBML XXVI. 3/b. 802. 1946–1947.

41 Long szerint „két új cikke »A fizikai idealizmus kritikája« és a »Modern fizika, modern társadalom« az írás részeit képezik”. (Long 1999, 277.) A korai tanulmányokról és Lukács hatásáról: László Ropolyi (1998): Lakatos and Lukács. In: G. Kampis–L. Kvasz–M. Stölzner (szerk.): Appraising lakatos. Mathematics, Methodology and the Man. Dordrecht–Boston–London.

42 Lakatos Imre (1946): A fizikai idealizmus bírálata. Megjegyzések Susan Stebbing könyvéhez. Társadalmi Szemle, Athenaeum, 29.

43 Palló 1996, 49.

44 „Lakatos Imre eddigi tudományos munkásságának alapja a dialektikus materializmus, de annak nem ortodox, hanem modern formája. Ez is csak alap, neki magának önálló, egyéni mondanivalói vannak, mégpedig időrendben: újabban több s régebben kevesebb. Eredetisége tehát felfelé ível. Az a filozófia, amely minden megszólalása mélyén fellelhető, következetes és rendszerben mozgó.” (HBML XXVI. 3/b. 217/1947–1948.)

45 „Az axiómák kiválasztásában, de bizonyítás közben is a magam szemléletes képei vezettek (társamat pedig a magáéi); tulajdonképpen mindketten szemléletesen gondolkodunk, de a közös kiindulóponttal: az axiómarendszerrel és a közös úttal: a logikával biztosítjuk azt, hogy párhuzamosan haladjunk, ugyanoda jussunk.” (Kalmár 1986, 42–43.)

46 Ropolyi 2002, 331.

47 Lakatos Imre (1981): Bizonyítások és cáfolatok. Budapest: Gondolat, 18. Quine a könyv recenziójában ugyanezt emelte ki Lakatos koncepciójának legfontosabb jellemzőjeként (Quine, Willard Orman (1977): Lakatos, I.: Proofs and Refutations. The Logik of Mathematical Discovery. British Journal for the Philosophy of Science, 81.). Hasonlóképpen értékeli Grattan-Guinnes is a Bizonyítások és cáfolatok hatását: „Ez a könyv vezetett az empirizmus újjáéledéséhez a matematikafilozófiában.” (Grattan-Guinnes, Ivor (szerk.) (1994): Companion Encyclopediae of the Mathemathical Sciences II. London, II: 684.)

48 Urbán János (1981): Utószó. In: Lakatos Imre: Bizonyítások és cáfolatok. Budapest: Gondolat, 227–228.

49 Lakatos 1981, 22.

50 Kiss Olga (1996): Lakatos Imre matematikafilozófiája. Replika, 23–24: 31.

51 Lakatos, Imre (1978a): The methodology of scientific research programmes. (Philosophical Papers 1.) Cambridge: University Press, 69.

52 Kiss 1996, 29.

53 „…a »bizonyítás« kifejezést az »olyan gondolatkísérlet jelölésére használjuk, amely az eredeti sejtésnek további sejtésekre vagy lemmákra való lebontását eredményezi«, nem pedig »a kétségtelen igazság biztosítéka« értelemben…” (Lakatos 1981, 32). Long szerint (Long 1999, 288.) Lakatos még Magyarországon, a recski táborban „ismerte föl a matematikai bizonyítások formalista módjának tévességét és ostobaságát”.

54 Davies, Philip J.–Hersch, Reuben (1984): A matematika élménye. Budapest: Műszaki, 376.

55 Lakatos a Kalmár-előadáshoz való hozzászólásában vezette be a kvázieuklideszi és a kváziempirikus elméletek közötti megkülönböztetést. (Glas, Eduard [2001a]: “The Popperian Programme” and Mathematics. Part I: The Fallibilist Logic of Mathematical Discovery. Studies in History and Philosophy of Science, 124.)

56 Kalmár 1986, 38.

57 Az Exodus-cikk egyébként maga is ütköztette a normatív és a történeti nézőpontot: „A tudományos szempontnak is jobban megfelel, ha a fejlődést és nem a kész axiomatikát adjuk elő; mert nem ez utóbbi fejezi ki a tudomány mai állapotát, hanem az, hogy a fejlődés útja ide vezet.” (Kalmár 1986, 61.)

58 „A szemléletesség fokát az jellemzi, hogy a fogalmakhoz élénk, áttekinthető kép kapcsolódik; a fogalmak számos tulajdonságát le tudjuk olvasni erről a képről.” (Kalmár 1986, 39.)

59 „Az egzaktság kedvéért viszont fokozatosan feláldoztuk a szemléletességet.” (Kalmár 1986, 53.) Illetve: a matematika deduktív tudománnyá válásával „elfelejtették, hogy axiómáit eredetileg empirikus tényekből absztrahálták.” (Kalmár, László [1967]: Foundations of Mathematics – Whither now? In: Lakatos, Imre (szerk.): Problems in the Philosophy of Mathematics. Amsterdam: North Holland, 188.)

60 Kalmár 1967, 192.

61 Lakatos A döntő kísérletek szerepe a tudományban című művének egyik lábjegyzetében az egész kérdéskör tömör összefoglalását adja: „A »kváziempirikus« terminust korábban a matematikai filozófia kapcsán vezettem be. Abból, ami egy deduktív rendszer csatornáiban folyik, elvonatkoztathatunk arra nézve, hogy az a valami bizonyos-e, vagy kétséges, igaz-e vagy hamis, valószínű-e vagy valószínűtlen, sőt akár arra nézve is, hogy az a valami erkölcsileg vagy tudományosan kívánatos-e vagy nem kívánatos; a folyamat hogyanja dönti el, hogy a rendszer negativista, »kváziempirikus-e«, amelyben a modus tollens dominál, avagy igazoló, »kvázieuklideszi-e«, amelyben a modus ponens uralkodik.” (Lakatos Imre [1980]: A döntő kísérletek szerepe a tudományban. In: Vörös László [szerk.]: A tudományfejlődés elmélet problémái. Budapest: Oktatási Minisztérium, 77.)

62 Lakatos, Imre (1967): A renaissance of empiricism in the recent philosophy of mathematics?. In: Lakatos, Imre (szerk.): Problems in the Philosophy of Mathematics. Amsterdam: North Holland, 202. A vitában megjelenő álláspontokról: Koetsier 1991, 59–62. A kváziempirikus felfogás sajátosságairól készült összegzés: Kutrovátz Gábor (2000): Lakatos Imre matematikafilozófiája. Előadás a Matematikatörténet és Matematikatanítás című konferenciára, Budapest, 2000, április 17–18., http://hps.elte.hu/~kutrovatz/Lakmatcikk.htlml

63 Lakatos, Imre (1978b): Matematics, science and epistemology. (Philosophical Papers 2.) University Press, Cambridge, 24.

64 Lakatos 1978b, 29–30.

65 Lakatos 1981, 81.

66 Kiss Olga hangsúlyozza, hogy Lakatos „a matematikai megismerés dialogikus természetét” előtérbe állítva azt a geometria platóni szemléletére vezeti vissza (Kiss 1996, 26–27).

67 Toulmin 1976, 658.

68 Hacking, Ian (1979): Imre Lakatos’s Philosophy of Science. In: British Journal for the Philosophy of Science, 383.; Palló 1996; Gábor Palló (1997): The Role of Morality. A Comparison of Michael Polanyi and Imre Lakatos. In: Polanyiana, 2: 38–43.; Ropolyi 1998.